Квадратуре круга Манојла Мосхопула

У свету источног хришћанства прва детаљна разматрања магичних квадрата јављају се око 1300. године у књизи ромејског научника и учитеља Манојла Мосхопула. Расправу о формирању квадратних бројева написао је на инсистирање Николаја Артавазда Равде, аритметичара и геометра из Смирне. Мосхопулови математички радови нису имали већег утицаја на развој западне науке због тога што су за западни свет били непознати. Источна традиција, напротив, обилује бројним примерима магичних квадрата у оквиру рукописа и штампаних књига од 14. до 20. века.

Манојло Мосхопул (Мανουηλ Μοσχοπουλος око 1265-1315) био је нећак Нићифора Мосхопула, библиофила и критског митрополита за време владавине Андроника другог Палеолога. О утицају и подршци коју је од стрица имао за време студија више пута је писао.

У једном од писама каже да је његов стриц тражио четири коња како би превезао своју библиотеку, упућујући тако на њену величину, а њен квалитет је нагласио примером покушаја крађе те библиотеке.

Мосхопул је био ученик ромејског књижевника, граматичара и теолога Максима Плануда и вероватно његов наследник на месту директора школе у ​​Цариграду, где је предавао током свог живота. Под утицајем свог учитеља заинтересовао се и за неке научне дисциплине, као и за писмо. Био је учитељ цариградског судије Николаоса Матарагоса.

У једном писму које је Плануд написао његовом стрицу наведено је да Мосхопул озбиљно схвата и научни и учитељски позив, те да је подједнако поносан на обоје.

Политичка непромишљеност

Мосхопул је припадао политичкој фракцији антидота и био умешан у неку врсту политичке интриге, због чега је између 1305. и 1306. провео у затвору и био јавно осрамоћен.

Сачувано је неколико писама писаних из затвора, у којима се жали на третман и недостатак хране. Он у писмима признаје да је погрешио, али наводи да је његов поступак био узрокован наивношћу, а не лошим намерама.

„Људи су од самог почетка увидели да су принуђени да живе заједно, због тога што не би изашли на крај када би били упућени на саме себе“ – Манојло Мосхопул

У то Време Ромејско царство је ушло у немиран период и почетак опадања моћи. Услед унутрашњих раздора праћених спољним притисцима, клима у царству је била таква да се свака критика власти сматрала чином нелојалности, а Мосхопул је у својим јавним критикама био у најмању руку непромишљен.

Филолошки рад

О Мосхопулу се најчешће говори као о писцу и филозофу, чије је основно интересовање била драма и поезија. Класичарима је добро познат по својим радовима у којима је, наводећи и коментаришући класичне грчке текстове допринео њиховом очувању.

Написао је многа филолошка дела, која су остала у употреби најмање три века после његове смрти и у великој мери утицала на развој словенских језика. Његово главно дело је Питања граматике (Ερωτηματα Γραμματικα), у форми питања и одговора, допуњено лексиконом атичких именица.

Међу осталим граматичким списима издвајају се „О именицама и придевима“, „О прозодији“, „Граматичке вежбе“, „Књига о разлозима испитивања говора“, и“Сажета нова граматика“.

Његови граматички трактати били су темељ рада таквих промотера класичних студија као што су Манојло Хрисолора, Теодор Газа, Батисти Гварини и Константин Ласкарис. Као уредник, иако је износио многа погрешна нагађања, био је одговоран за уклањање многих дугогодишњих грешака у традиционалним текстовима. Његови коментари, када су оригинални, углавном су лексикографски.

Књижевне и филозофске расправе

Мосхопул је аутор схолија о првој и другој књизи Илијаде, а такође и коментара на радове Хесиода, Теокрита, Пиндара, Есхила, Еурипида, Софокла, Аристофана, Филострата и других класичних и каснијих аутора. Аутор је и расправа о загонеткама, писмима, лексикографским коментарима, делима о граматици, који су постали извори за касније ауторе и збирке атичких имена. 

Уредник је низа античких дела, у којима је исправљао бројне грешке, као и аутор антилатинског теолошког памфлета. Године 1321. саставио је кратку политичку расправу о заклетви, где износи нотарске појмове.

Сачувана је његова преписка са значајним личностима тог времена: Теодором Метохитом, Георгијем Акрополитом, математичарем Николајем Равдасом, Јосифом Филозофом, као и са царем Андроником II Палеологом.

Расправа о формирању квадратних бројева

Историчарима и математичарима Мосхопул је познат по својој расправи о формирању квадратних бројева, у којој је изнео методе састављања магичних квадрата и први увео појам „бројање у круг“. (ως περ ανακυκλουνυες). 

Магични квадрат је врста укрштених бројева, речи или других симбола у којем је број знакова у сваком поједином реду једнак укупном броју редова. Приписивана су им магична својства због чега се могу наћи на амајлијама и талисманима, изнад кућних врата као вид заштите, код болесника за брзо излечење, а заступљени су и кроз разне врсте словних и бројевних игара. Према врсти садржаја деле се на бројевне, словне и знаковне, а према распореду и начину читања садржаја на несиметричне, симетричне и палиндромне. Њихово савршенство можда је најбоље описао научник Шујлер Каман: „Магични квадрати су понекад мали модели свемира, можемо их посматрати као симболичке представе живота, његовог непрестаног тока и обнављања преко божанскога извора из средишта свемира“. Код бројевног квадрата не ради се симетричном распореду бројева, него о резултату који се добије сабирањем свих бројева у једном реду, колони или дијагонали. Бројеви у њему чине одређени аритметички низ у коме је разлика између два броја у низу увек иста вредност.

Још је Платон у „Држави“ (550. године п. н. е.) помињао магични квадрат 27×27. У свом делу „Генерација душе у Тимеју“ (100. године п. н. е.) Плутарх је писао о броју 729 као броју сунца, а 130. године магични квадрат у својим радовима описује Теон из Смирне.

Између 500. и 1300. на простору Византије изграђено је неколико цркава на основу пројекта заснованог на магичном квадрату, али прва детаљна расправа о магичним квадратима у западној науци јесте „Расправа о формирању квадратних бројева“ Манојла Мосхопула

Расправу је око 1315. године написао на инсистирање византијског математичара Николаја Артавазда Равде из Смирне. Заснована на арапским изворима, она представља један је од најважнијих споменика византијске математичке мисли.

Британски математичар Норман Бигс наводи да су неке од Мосхопулових метода биле раније познате у Перзији и упућује на Ахмада ал-Бунија и анонимни перзијски рукопис (Garrett Collection no. 1057, Princeton University). У перзијском рукопису налазе се примери квадрата, али нема објашњење метода њиховог прављења.

Радивши на делу арапског научника Ахмада Ал-Бунија, грчки учењак квадрате није тумачио само путем магије, алхемије и астрологије, него им је одређивао и математичке карактеристике.

Мосхопул, који се бавио и проблемом квадратуре круга, одређује га као квадратну мрежу састављену од n² квадратних поља у којој је распоред бројева 1, 2, 3…, n² такав да је њихов збир у сваком хоризонталном и вертикалном реду једнак, односно износи \n{n² + 1).

Мосхопулови математички радови нису имали већег утицаја на развој западне науке због тога што су за западни свет били непознати све док их у париској Краљевској библиотеци није пронашао и превео француски сликар и математичар Филип де ла Хир (1640-1718). Слично је и са другим језичким вештинама, попут палиндрома који су најчешће преписивани у грчком, коптском или словенском оригиналу и као такви означавани негативном конотацијом.  Источна традиција, напротив, обилује бројним примерима магичних квадрата у оквиру рукописа и штампаних књига од 14. до 20. века. За разлику од источне европске традиције где је језичка вештина била цењена као вештина усмерена ка божанском, на западу је она добила супротну конотацију и као таква се на жалост проширила широм света. 

Расправу је 1886. године са грчког на француски језик превео и растумачио француски математичар Пол Танери, а на енглески језик је овај Тенеријев рад превео Џон Келвин Мекој 1941. године.

Ради се о прилично буквалном преводу са грчког на енглески, допуњеном појединим биографским и математичким детаљима. Превод почиње од седме стране и траје до дванаесте, са фуснотама на тринаестој и референцама на четрнаестој страни.

Далибор Дрекић

Литература:

Мануил Москопул, Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона, СПб., 1890-1907.
Мануил Москопул, Л. В. Луховицкий // Монголы — Наноматериалы. — М. : Большая российская энциклопедия, 2013.
Manuel Moschopulus: William Smith (editor), A Dictionary of Greek and Roman Biography and Mythology. Vol. II Boston: Little, Brown & Comp., 1867
Paul Tannery, Le Traité de Manuel Moschopoulos sur Les Carrés Magiques, 1886. In Ann. de l’Assoc. pour l’Encouragement des Etudes Grecques, pp. 88-104.
Hans-Georg Beck, Res publica Romana: vom Staatsdenken der Byzantiner, Verlag der Bayerischen Akademie der Wissenschaften, München, 1970.
Jacques Sesiano, Les carrés magiques dans les pays islamiques, Presses polytechniques et universitaires romandes, Lausanne, 2004.
John Calvin McCoy, Scripta Mathematica, 8, 1941, pp. 15-26.
Ihor Ševčenko, The Imprisonment of Manuel Moschopulos in the Year 1305 or 1306, Speculum, Vol. 27, No. 2 (Απρίλιος 1952).
Erich Trapp (επιμ.), Prosopographisches Lexikon der Palaiologenzeit [: PLP], 15 τόμοι, Verlag der Österreichischen Akademie der Wissenschaften, Wien, 1976-1996.
David Eugene Smith, History of Mathematics, Dover, New York, 1958.
Georgios Fatouros, „Moschopulos, Manuel“. In Bautz, Traugott (ed.). Biographisch-Bibliographisches Kirchenlexikon (BBKL) (in German). Vol. 16. 1999.
Hugh Chisholm, ed. „Moschopulus, Manuel“. Encyclopædia Britannica (11th ed.). Cambridge University Press. 1911
Ιάσων Κουτούφαρης-Μαλανδρίνος, Εισαγωγή στο Περί Όρκου του Μανουήλ Μοσχόπουλου, Αρχειοθραύστης, τεύχος 6, 2016,
Wolfgang Buchwald et al.: Tusculum-Lexikon griechischer und lateinischer Autoren des Altertums und des Mittelalters. München 1983.
Maurice Kraitchich, Mathematical Recreations, Dover Publications, 1942.
Herbert Hunger: Artikel Moschopulos. In: Lexikon des Mittelalters. Band 6, S. 585.
Georgios Fatouros, Bautz, Traugott. ed (en alemánn). Moschopulos, Manuel. Biographisch-Bibliographisches Kirchenlexikon (BBKL). 1999.
Thomas L. Heath, A History of Greek Mathematics 1-2, Oxford: Clarendon Press, Dover, New York, 1981
Nigel Wilson, Scholars of Byzantium, Johns Hopkins University Press, Baltimore, Maryland, 1983.

Повезани текстови:

6000 година стар код матрице свемира и ДНК спирале
Древни словенски квадрат
Магични квадрати на ћириличном и грчком писму
Словни магични квадрати
Магични квадрат у српској књижевности
Књига свете магије мага Абрамелина

Наше објаве можете пратити на ВКонтакте, Телеграм, Whatsapp, X и Линкедин страници, као и на фејсбук страницама Расен, Краткословље, Сатирање и Свет палиндрома