Гема

Арапски бројеви и магични квадрати бројева

Арапским математичарима су магични квадрати или „хармонични распоред бројева“ (wafq ala’dad) познати од седмог века, када су Арапи освојили северозапад индијског потконтинента и дошли у контакт са индијском културом, упознавши се са тамошњом математиком и астрономијом. Постоје и мишљења да су Арапи за магични квадрат чули и раније преко кинеских трговаца.
Арапски магични квадрат

Шамс ал Мариф

Од седмог века арапски астролози користили су магичне квадрате за израчунавање приликом израде хороскопа и за разне друге астролошке прорачуне, због чега им се и приписује настанак астролошког начина примене квадрата.

Магични квадрати трећег и четвртог реда испуњени бројевима или словима чест су мотив на арапским гемама, талисманима и амајлијама (нпр. квадрат четвртог реда испуњен са четири слова Алаховог имена).

Магични квадрат је врста укрштених бројева, речи или других симбола у којем је број знакова у сваком поједином реду једнак укупном броју редова. Приписивана су им магична својства због чега се могу наћи на амајлијама и талисманима, изнад кућних врата као вид заштите, код болесника за брзо излечење, а заступљени су и кроз разне врсте словних и бројевних игара. Према врсти садржаја деле се на бројевне, словне и знаковне, а према распореду и начину читања садржаја на несиметричне, симетричне и палиндромне. Њихово савршенство можда је најбоље описао научник Шујлер Каман: „Магични квадрати су понекад мали модели свемира, можемо их посматрати као симболичке представе живота, његовог непрестаног тока и обнављања преко божанскога извора из средишта свемира“. Код бројевног квадрата не ради се симетричном распореду бројева, него о резултату који се добије сабирањем свих бројева у једном реду, колони или дијагонали. Бројеви у њему чине одређени аритметички низ у коме је разлика између два броја у низу увек иста вредност.

Почетком деветог века тумачио их је Табит ибн Кура, а први квадрати од 5. до 9. реда појављују се 983. г. у багдадској „Енциклопедији братства чедности“ (Rasa’il Ihkwan al-Safa), коју је саставила група арапских учењака. Неки од тих квадрата, попут Шамс ал Марифа, касније су кориштени у комбинацији са магичним словима као помоћно средство арапских илузиониста и мађионичара.

Прве методе за конструкцију магичних квадрата јављају се нешто касније. Између 11. и 14. века арапски математичари, попут Ахмада ал-Бунија, Аз Зињанија и Ибн Кунфундија, открили су низ једноставних правила за креирање магичних квадрата, а од 13. века квадрати су доживели препород као астролошки и магијски феномени.

Између 1225 и 1250. године арапски математичар Ахмад ал-Буни описивао је магичне квадрате претежно као мистичне и астролошке феномене. Иако нису сачувани детаљи свих његових описа, познато је да је ал-Буни приказао прве опште методе конструкције различитих магичних квадрата помоћу једноставне граничне технике (bordering technique), али ова метода није његово откриће.

Багдадски математичар Аз Зињани је у 13. веку подробније представио посебну методу са креирање магичних квадрата петог реда, тзв. метода уоквиривања. Квадрат се овом методом гради од спољашњег прстена ка унутрашњем.

У 14. веку је у својој књизи Ибн Кунфунд представио методу означавања поља при грађењу четири типа квадрата.

Магични квадрати су дубоко уткани у културу народа северозападне Африке, у њиховој уметности, архитектури, на народним ношњама, маскама, верским предметима, као средство за прорицање и при планирању градње кућа. У раном 18. веку математичар, астроном, астролог и мистик Мухамед ибн Мухамед представио је начин за прављење квадрата непарног реда.

Претпоставља се да је магични квадрат у Перзији био познат и пре исламског периода и појаве шаха. У десетом веку перзијски математичар Бузјани саставио је рукопис у коме на 33 страни наводи неколико квадрата. Они су попуњени бројевима у таквој аритметичкој прогресији да је збир сваког реда, колоне и дијагонале једнак. 

Анонимни перзијски рукопис који се чува на универзитету Принстон садржи примере магичних квадрата, али не и методе њиховог грађења. Квадрат шестог реда налази се у Перзијској књизи питања из 16. века, која се чува у египатској националној библиотеци у Каиру.

Далибор Дрекић

Литература:

George Sarton, Introduction to the History of Science, Vols. 1-3, 1947, Baltimore. Vol. 1, pp. 660f.

Текстове са темом палиндрома, као и прозна и поетска остварења у овој форми можете читати и на нашој страници Краткословље.

Повезани текстови:

Улога магичних квадрата бројева у различитим цивилизацијама
Древни словенски квадрат
Магични квадрати на ћириличном и грчком писму
Словни магични квадрати
Магични квадрат у српској књижевности
Књига свете магије мага Абрамелина
Арапски палиндроми и магични квадрати од средњег века до данас

 

Српска реч Абракадабра

Реч „Абракадабра“ типична је реч магијског језика због тога што је изгубила јасно значење, што има секвенце које се понављају, а самим тим и ритам, риму, алитерацију, асонанцу и брзу смену звукова. Иако је позната у свим европским језицима, њено порекло и значење не може се са сигурношћу одредити.

Веровало се да реч „Абракадабра“има велику магичну моћ, посебно за заштиту од грознице и маларије, због чега се често уписивала на амулетима, гемама и талисманима.

Реч абракадабра може се читати и одоздо у троугластом приказу. Начин скраћивања речи помоћу конусног облика има сврху постепеног уништавања снаге злог духа. Веровало се да како се смањује број слова, тако слаби и дејство болести.

Хебрејска тумачења

Постоји више различитих теорија о њеном пореклу из хебрејског језика. Поједини научници доводе је у везу са арамејским изразом „עברא כדברא“ („Avarah K’Davarah“: „Што је речено, мора бити учињено“). У арамејском језику слова „Б“ и „В“ била су заменљива па се отуда јавља варијанта „Абра кедабра“ и од ње реч „абракадабра“.

Супротност, односно антоним речи Абракадабра (Створићу, као што говорим), представља реч Аvada kedavra (Уништићу, као што говорим).

Следећа два тумачења односе се на хебрејске изразе: Хуан Керлот тумачи је помоћу хебрејског израза „abreg ad hâ¬bra“ („шаљи своју муњу до смрти.“), и „Ha-Bracha Dobara“ („Благослов мистичног имена“).

Према једној теорији, ова реч у себи садржи скраћене облике хебрејских речи „Ab“ (Отац), „Ben“ (Син) и „Ruach A Cadsch“ (Свети дух), али не у хришћанском смислу, како се то на први поглед може учинити.

Прехришћанско порекло

Наиме, реч „абракадабра“ потиче из прехришћанског периода и према овом тумачењу, односи се на Абраксаса (Άβράζας), бога са змијским ногама, који је обожаван у прехришћанској Александрији, односно скупине божанстава, према гностичком учењу. Пронађено је много примера њене употребе на каменим гемама заједно са фигуром Абраксаса.

Грчко тумачење

За разлику од свих покушаја одгонетања значења речи абракадабра помоћу хебрејског и арамејског језика, интересантно је њено тумачење помоћу грчког израза „Αύρα κατ’ αύρα“ (Од ауре до ауре)

Употреба у хришћанству

Према неким тумачењима, “абракадабра” симболизује Оца, Сина и Светога духа, због тога што садржи прва слова тих речи (ABra, Ben, RAuh, AKADosh).

Лековита формула Квинта Серена Самоника

Први њен помен на западу налазимо крајем другог века у 51. поглављу стиховане медицинске књиге „Правила медицине“ (Liber Medicinalis или De medicina praecepta saluberrima) Квинта Серена Самоника (Quintus Sammonicus Serenus, ? – 212) лекара римских императора Каракале и Гете:

Inscribis chartae, quod dicitur abracadabra,
Saepius, et subter repetis, sed detrahe summae,
Et magis atque magis desint elementa figuris
Singula, quae semper rapies, et cetera figes,
Donec in angustum redigatur litera conum.
His lino nexis collum redimire memento.

„Смртоносно је то, што Грци зову ήμιτριταΐον (полутерцијарна грозница); На латинском, изгледа, то нико није могао да искаже.

Напишеш на папиру Abracadabra неколико пута,
једно испод другога, одузимајући почетак,
тако да свака реч буде краћа од претходне за по слово
и да се на крају заврши са једним словом.
На тај начин се образује конусни облик.
Не заборави да је увијеш завојима око врата.“

Оболели су девет дана носили ову магичну формулу написану на папиру и умотану око врата, а затим је рано ујутро баца у брзи поток.

A – B – R – A – C – A – D – A – B – R – A
A – B – R – A – C – A – D – A – B – R
A – B – R – A – C – A – D – A – B
A – B – R – A – C – A – D – A
A – B – R – A – C – A – D
A – B – R – A – C – A
A – B – R – A – C
A – B – R – A
A – B – R
A – B
A

Отуда и тумачење њеног порекла „абра-кад-абра“ („кад“ уместо кадахатъ – грозница) што на хебрејском значи: „прошла грозница“, или према арамејском: „прошла је, када је прошла“. Међутим, на ову реч не наилазимо у хебрејској Кабали и у примерима мистичних метода лечења код Хебреја.

Бројни римски цареви, укључујући Гету и Александра Севера следили су Самоникова медицинска учења и употребљавали магичне речи приликом лечења. Ова се реч помиње и као мантра коју су лекари изговарали ради очувања жлезде тимус

Амброаз Паре и Данијел Дефо

Чувени француски лекар из шеснаестог века Амброаз Паре (Ambroise Paré) у свом научном разматрању из 1560. године исмева ову Самоникову наивну методу лечења.

Данијел Дефо је са омаловажавањем писао о грађанима Лондона који су у време велике куге ову реч истицали на својим вратима да би се одбранили од болести, а Алистер Кроули је тврдио да је њен прави облик „Абрахадабра“.

Етрурска – венетска – словенска реч

Да је ова реч, уствари словенског порекла, тврди словеначки књижевник и лингвиста Матеј Бор. Он своју теорију доказује палиндромним путем: „А брача дабра.“ („код доброг врача“) и обрнуто „Арба да чарба.“ („Да ископа црва“). Његову тврдњу потврђује и етимолошка анализа према којој је црв некадашњи синоним за болест.

Убојита клетва Харија Потера

У књигама Хари Потер Џ. К. Ровлинга „Авада Кедавра“ (убојита клетва), као варијација израза „avra kehdabra“ јесте једна од три неопростиве клетве, која изазива тренутну смрт, не остављајући никакав траг о узроку смрти. При њеном коришћењу јавља се зелена светлост.

Далибор Дрекић

Текстове са темом палиндрома, као и прозна и поетска остварења у овој форми можете читати и на нашој страници Краткословље.

На Кипру пронађен палиндром стар 1500 година

У древном граду Неа Папос на југозападу Кипра археолози су у лето 2011. током ископавања агоре открили амајлију стару око 1.500 година. Реч је о археолошком пројекту „Агора Папоса“, који се спроводи под вођством универзитетске професорке Евдоксије Папуци-Владике. (Агоре су, иначе, служиле као окупљалишта (тргови) у античком свету.).

Неа Папос је у неолиту било светиште богова плодности, а у античком свету најчувеније и најважније светилиште Афродите, грчке богиње љубави. Кипар је легендарно родно место богиње Афродите и трагови њеног култа датирају од пре 12 векова пре нове ере, када јој је подигнуто прво светилиште, до рановизантијске ере. Налазиште на Папосу садржи остатке вила, палата, позоришта, тврђаве и гробља.

ИКОНОГРАФИЈА СА ЈЕДНЕ СТРАНЕ

Амајлија је двострано украшена, величине око 3,49 цм са 4,12 цм. Са једне стране приказано је неколико интересантних митолошких цртежа: На дну се налази мумија која лежи на броду умотана у завоје (представа египатског бога Озириса).

Према египатској митологији, Сет, бог олуја, нереда и насиља, убио је Озириса, а затим га затворио у сандук и бацио у реку Нил. Пошто га је богиња Изис оживела, Сет га је раскомадао и бацио назад у реку. Изис је сакупила све делове, саставила тело, умотала га у завоје и чамцем послала у подземље. Тако је Озирис постао бог мртвих и подземља..

Изнад мумије је цртеж Харпократа, бога тишине и ћутања, који седи на столици. са десном руком подигнутом до уста, и скиптаром у левој руци. Десно од Харпократа је цртеж Кинокефалона, митског створења са пасјом главом, које такође држи шапу поред уста, имитирајући Харпократов гест. (7 најмистериознијих археолошких налаза на Земљи). Између Кинокефалона и Харпократа налази се змија, чија је глава окренута ка Харпократу, лево и десно од Харпократа су полумесец и звезда, а ту су и цртежи птице (вероватно петла) и крикодила.

ПАЛИНДРОМНИ НАТПИС СА ДРУГЕ СТРАНЕ

На другој страни амајлије налази се натпис од 59 слова грчког алфабета, који може једнако да се чита и уназад, што га чини палиндромом. Он гласи:

ΙΑΕВ
ΒΑΦΡΕΝΕΜ
ΟΥΝΟΘΙΛΑΡΙ
ΚΝΙΦΙΑΕΥΕ
ΑΙΦΙΝΚΙΡΑΛ
ΙΘΟΝΥΟΜΕ
ΝΕΡΦΑΒВ
ΕΑΙ

Превод натписа „ΙΑΕW ΒΑΦΡΕΝΕΜ ΟΥΝΟΘΙΛΑΡΙ ΚΝΙΦΙΑΕΥΕ ΑΙΦΙΝΚΙΡΑΛ ΙΘΟΝΥΟΜΕ ΝΕΡΦΑΒW ΕΑΙ“ гласи: „(Јахве) Бог је носилац тајног имена, кога Реов лав чува у свом светилишту.“. Три слова на самом дну, ΕΑΙ, су стиснута и тешко их је прочитати.

„Истраживачи су пронашли сличне палиндроме и на другим местима у античком свету“, пише Јоаким Шлива, професор на Институту за археологију Јагелонског универзитета у Кракову у Пољској, Његов чланак недавно је објављен у часопису „Истраживања о античкој уметности и цивилизацији“ (Studies in Ancient Art and Civilization). Шлива напомиње да је писар направио две мале грешке приликом писања овог палиндрома: у два случаја написао је „ρ“ уместо „v“.

Палиндроми су имали велико значење приликом састављања магијских формула различитих врста и намена, због устаљеног мишљења да реч губи своја магијска својства када се напише наопако. „Амајлије попут ове пронађене у Новом Папосу прављене су с циљем да заштите своје власнике од опасности и штете“, изјавила је Папуци-Владика у изјави за „Live Science“.

ХРИШЋАНСКО И ПАГАНСКО

Када је током 5. века уништено Западно римско царство, Источно римско царство наставља да се развија и постаје оно што се често назива Византијским царством. Кипaр је током 5. и 6. века био у саставу Византије у којој је званична религија у то време било Хришћанство, али је још увек била веома заступљена и многобожачка традиција.

Ова амајлија доказује да су људи на Кипру практиковали традиционалну многобожачку веру много дуже него што се раније мислило, рекла је Папуци-Владика. Она напомиње да грађевина која се назива „Тезејева кућа“ има мозаик са паганским елементима који је реконструисан тек у 7. веку. „Изгледа да су хришћанска и паганска веровања коегзистирала на Пафосу у време када је амајлија била у употреби“, рекла је Папуци-Владика за ‘’Live Science’’.

НЕОБИЧНА ИКОНОГРАФИЈА

Упркос тој коегзистенцији, амајлија има неколико необичних карактеристика које указују да њен творац није у потпуности схватио митолошке ликове који су приказани.

„Мора се рећи да је приказ прилично неквалификован и схематски. Иконографски се заснива на египатским изворима, али ове изворе творац амајлије није у потпуности схватао,“ пише Шлива у чланку.

На пример, уместо што седи на столици, Харпократ треба да седи на лотосовом цвету, са састављеним ногама, каже Шлива. Поред тога, псоглави Кинокефалон не би требао да имитира Харпократа. У класичној верзији, Кинокефалон се обраћа Харпократу са шапама подигнутим у знаку обожавања“, додаје Слива. „Не можемо наћи објашњење за гест Кинокефалона са подигнутом десном шапом на устима, на начин као код Харпократа.“

Још чудније је то што Харпократ и Кинокефалон имају укрштајуће линије на својим телима, што сугерише да је древни уметник мислио да ове фигуре требају бити мумификоване заједно са Озирисом. Док Кинокефалон може бити приказан са завојима мумије, Харпократ не би требао да их има. Мумијски завоји „немају оправдања у случају Харпократа,“ закључује Шлива.

Да је палиндром као форма наставио да се развија у Византијском царству показују бројни сачувани изрази, од којих је најпознатији „Νίψον ἀνομήματα μὴ μόναν ὄψιν!“ (Сперите своје грехе, а не само своје лице!), израз сакралног садржаја који се најчешће везује за имена, цариградског архиепископа, писца и реторичара Светог Григорија Назијанског (329-390) и византијског цара Лава шестог (886-912).

Текст и преводи
Далибор Дрекић и Сања Бајић

Извори и литература
Studies in ancient art and civilization XVII, Jagiellonian University, Krakow 2013.
– Joachim Śliwa, Magical amulet from Paphos with the ιαεω- palindrome, Jagiellonian University, Krakow 2013.
LiveScience.com

Текстове са темом палиндрома, као и прозна и поетска остварења у овој форми можете читати и на нашој страници Краткословље.

Књига свете магије египатског мага Аврамелина

Судећи према јеврејском рукопису „Књига свете магије“ мага Аврамелина, написаној 1458. према много старијем тексту, палиндромни магични квадрати могу практично све: да открију скривена блага, материјализују духове, створе зомбије, лече заразе и сексуалне проблеме, да подмлађују и чине невидљивим.
Маг Аврамелин

Књига свете магије мага Аврамелина; Фото: abebooks.fr

Аврамелин и магични квадрати: Било да њихова снага лежи у несаломивој речи, звучном ефекту, астролошком распореду планета или у нумеролошком прорачуну, успешност дејства зависила је од поштовања прописаних правила приликом употребе (речи су се морале исправно изговорити или написати на одговарајућој подлози, било је важно извести сваки чин предвиђен при изговарању речи, дејство је зависило и од тренутних астролошких утицаја итд.).

Порекло књиге

Најранији трагови књиге су на немачком језику у форми шест рукописа и једног штампаног издања из периода од 1608. до 1750. Подаци у књизи говоре да је рукопис јеврејски кабалиста и познавалац магије Аврам из Вурсбурга 1458. године предао свом сину Ламеху. Он најпре објашњава како је постао кабалиста и научио свету магију од египатског мага Аврамелина, а затим даје многобројне примере формула и извођења магијских радњи.

Спису је крајем 19. и почетком 20. века велики значај придавао ред златне зоре и Алистер Кроули у свом мистичном систему „Телема“.

Значења и употреба магичних квадрата

Већина од 251 палиндромног магичног квадрата садржи речи или имена која су у вези са његовом магијском сврхом.

Такав је случај са квадратом „Satan-natas“, базираном на библијском мотиву, који омогућује да се било који дух појави у облику птице.

Квадрат „admon-nomda“ насловљен „Шетати по води колико год дуго желиш.“ садржи хебрејску и арапску реч „maiam” (מים or ماء), која означава воду, а квадрат за налажење и поседовање разних врста сребрног блага „tipharah-harahpit” почиње речју „tipharah” (תפארת), која на хебрејском може да значи славу, лепоту, сјајни предмет или златни прстен, а такође је и име сфере „лепоте“ на кабалистичком дрвету живота.

Магични квадрати

За квадрат „isichadamion-nosiracilari“ пише да га је Бог дао Авраму у завештање, а Аврам објавио народу, али ни за једну реч у њему није наведено значење или порекло – наводи се само да служи за претварање различитих животиња у камен.

Као један од најуспешнијих и најмоћнијих квадрата у књизи наведен је „salom arepo lemel opera molas..“ („Мир великом брзином на суву земљу цеди обиље.“), који се носи као амајлија за подстицање љубави код девице. Најбољи ефекат постиже се када се овим квадратом дотакне кожа девојке. Евидентна је његова велика сличност са „сатор“ квадратом.

Сличну функцију има и „naqid-diqan“, али је његово дејство усмерено према жени која је обећана другоме.

Квадрат „milon irago lamal ogari nolim.“ написан на комаду папира, а затим стављен на главу, под капу или шешир, наређује духовима да тој особи открију сву истину о прошлости, садашњости и будућности.

Помоћу квадрата „odac-cado“ човек може да лети попут лешинара, док „rolor-rolor“ омогућава летење попут гаврана.

Квадрат „atsarah-harasta“ омогућава кориснику појаву визија језера и река, а „kittik-kittik“ узрокује да духови донесу дебла за подупирање рударских тунела.

Квадрат „horah-haroh“ представља израз којим богиња мајка говори о тајнама ноћи, а служи за то да би се спознале све врсте магије.

Квадрат „betem-meteb“ користан је за лечење од грознице. Немају сви квадрати користан и повољан ефекат.

Квадрат „cased-debac“ сматра се посве злим и опасним, јер призива да некога стигне велика похлепа, која ће га прождирати и чинити бескорисним.

Далибор Дрекић

Сродни чланци:

Древни словенски квадрат – шест миленијума историје
Магични квадрат у српској књижевности од средњег века до данас – Крајегранесије
Нумерички код матрице свемира и ДНК спирале пре 6000 година исписан на корњачином оклопу
Улога магичних квадрата бројева у различитим цивилизацијама
Старогрчки магични квадрати
Стари санскртски еп Киратарјунија о борби човека и бога
Књига свете магије египатског мага Аврамелина
Арапски палиндроми и магични квадрати од средњег века до данас
Култ Црне Мадоне и витезови Темплари
Магични квадрат из 8. века као инспирација Салвадору Далију
Словни квадрати од древних Инка до Дена Брауна
Скривене поруке у романима Дена Брауна

Текстове са темом палиндрома, као и прозна и поетска остварења у овој форми можете читати и на нашој страници Краткословље.

Улога магичних квадрата бројева у различитим цивилизацијама

Магични квадрат је врста укрштених бројева, речи или других симбола у којем је број знакова у сваком поједином реду једнак укупном броју редова. Исписивање поруке у облику магичног квадрата био је један од најчешће коришћених начина изражавања у симетричној форми, зато што су квадратима кроз векове приписивана магична својства. Они се често могу наћи на амајлијама и талисманима, уписани изнад кућних врата као вид заштите породице, код болесника за брзо излечење, а посебно су заступљени кроз разне врсте словних и бројевних игара.

Магични квадрат је имао значајну улогу, како у паганским многобожачким религијама, тако и у једнобожачким, какве су Хришћанство и Ислам. Он је један од четири основна религијска симбола, поред круга, тачке и крста. Интересантно је да су ореоли хришћанских светаца у појединим раздобљима представљани у облику блиставог квадрата.

Њихово савршенство можда је најбоље описао научник и аутор више књига о магичним квадратима Шујлер Каман: „Магични квадрати су понекад мали модели свемира, можемо их посматрати као симболичке представе живота, његовог непрестаног тока и обнављања преко божанскога извора из средишта свемира“

У енигматици се магични квадрати сврставају у групу магичних ликова, симетричних мрежастих загонетки, у коју спадају и правоугаоник, пирамида, штит или крст, угао и укрштеница.

Подела магичних квадрата

Према врсти садржаја магични квадрати деле се на бројевне, словне и знаковне, а према распореду и начину читања садржаја на несиметричне, симетричне и палиндромне.

Код једних, посебно оних словних, битан је анаграмни или палиндромни распоред знакова, док су у квадратима бројева цифре углавном тако распоређене да у сваком реду, дијагонали и колони дају исти збир.

Поетско остварење у овој форми назива се лавиринтска песма (carmen labyrinthicum) и спада у ред фигуралних песама (carminа figurata).

Магични квадрати бројева

Дефиниција бројевног магичног квадрата углавном се не односи на симетричан распоред бројева у њему, него на резултат који се добије сабирањем свих бројева у једном реду, колони или дијагонали. Такав квадрат не може се саставити од било којих бројева, него они морају да чине одређени аритметички низ у коме је разлика између два броја у низу увек иста вредност.

Кинески Ло Шу

Иако се на једној керамичкој плочици нађеној у Уру (4000. године п. н. е.) налази и магични квадрат 6×6, његова права историја почиње у Кини где је пре више од 4000 година настао Ло Шу („Књига о реци Ло“), први магични квадрат бројева.

Уомо магични квадрат

Уомо магични квадрат, Норвешка; фото: storia-dell-arte.com

Легенда записана у књизи Јих Кинг из 650. г. п. н е. каже да је у време велике поплаве кинески цар Ју (2205–1766 п. н. е) из Хсије покушао да помоћу канала усмери воду у море. У намери да одобровољи узнемиреног бога реке, народ му је приносио жртвене дарове, али ништа није помагало. Увек када би бог био дарован из реке би израњала корњача. Једнога дана дечак је приметио да се на њеном оклопу налазе знакови састављени од низа тачака и распоређени у девет засебних одељака. Када су знакови растумачени, испоставило се да се ради о магичном квадрату 3×3, у којем су бројеви од 1 до 9 распоређени око броја пет тако да у сваком реду, колони и дијагонали збир увек износи 15. Народ је помоћу шара са оклопа израчунао да је количина дарова недовољна и већим даровима одобровољио бога реке.

Наредних векова се овај квадрат у кинеској традицији користио у архитектури, математици, филозофији, астрономији, астрологији, прорицању, проучавању разних природних феномена и људског понашања. Он представља орјентални концепт Јин-Јанга где су непарни бројеви представљени белим тачкицама, које су Јанг – симбол раја, док су парни бројеви представљени црним тачкицама, које су Јин – симбол земље. Овај квадрат је постао основа И Чинга, Ки-ја, компасног Фенг Шуија и других форми кинеског прорицања.

Индијски Кубера-Колам

Сличан Ло Шу квадрату је и индијски Кубера-Колам, који се од ведских времена практикује у подном сликарству и приликом извођења ритуала. Варахамихира је у својој књизи „Братсамита“ из 550. године н. е. употребљавао квадрат 4. реда при записивању рецепата за парфеме, а у Врндином медицинском спису „Сидхајога“ из 900. године квадрат 3. реда служио је за помоћ при порођају.

Квадрат 4. реда, који се појављује у спису „Кајурахо“ из 10. века, назива се и Чаутиса Јантра, или гномон, јер је збир сваког реда, колоне и дијагонале, сваког од четири мања угаона квадрата, као и средишњег – 34.

Прва позната математичка употреба магичних квадрата у Индији налази се у делу „Ганитасара“ из 1315. године научника Такара Перуа. Научник Лађунандана је у спису о хиндуском законодавству „Смртитатва“ изложио метод прављења квадрата четвртог реда предвиђених за посебне потребе (нпр. за умиривање дечјег плача).

Посебно су интересантне јантре као геометријски цртежи који структурално и аналогно објашњавају космичко устројство. Користе се као амајлије за доношење среће и обично се праве тако што се на врх низа магичног квадрата постави број датума рођења одређене особе или њен животни број.

Арапски магични квадрати

Арапским математичарима су магични квадрати или „хармонични распоред бројева“ (wafq ala’dad) познати од седмог века, када су Арапи дошли у контакт са индијском културом. Арапски астролози користили су их за израчунавање приликом израде хороскопа, због чега им се и приписује настанак астролошког начина примене квадрата.

Магични квадрати трећег и четвртог реда испуњени бројевима или словима чест су мотив на арапским гемама, талисманима и амајлијама (нпр. квадрат четвртог реда испуњен са четири слова Алаховог имена).

Почетком деветог века магичне квадрате је тумачио арапски научник Табит ибн Кура, а први примери  квадрата од петог до деветог реда појављују се 983. године у багдадској „Енциклопедији братства чедности“, коју је саставила група арапских учењака.

Неки од ових магичних квадрата, попут чувеног Шамс ал Марифа, касније су кориштени у комбинацији са магичним словима, као помоћно средство многих арапских илузиониста и мађионичара.

Између једанаестог и четрнаестог века многи арапски математичари, попут Ахмада ал-Бунија, Аз Зињанија и Ибн Кунфундија, открили су низ једноставних правила за креирање магичних квадрата, а од тринаестог века квадрати су доживели препород као астролошки и магијски феномени.

Магични квадрати су дубоко уткани у културу народа северозападне Африке, у њиховој уметности, архитектури, на народним ношњама, маскама, верским предметима и као средство за прорицање.

У раном 18. веку математичар, астроном, астролог и мистик Мухамед ибн Мухамед представио је начин за прављење квадрата непарног реда.

Претпоставља се да је магични квадрат у Перзији био познат и пре исламског периода и појаве шаха. У 10. веку математичар Бузјани је саставио рукопис у коме наводи неколико квадрата, а примере садржи и анонимни перзијски рукопис који се чува на универзитету Принстон.

Квадрат шестог реда налази се у Перзијској књизи питања из 16. века, која се чува у египатској националној библиотеци у Каиру.

Античка Грчка и средњи век

Магични квадрат се помиње у грчким записима из 1300. године пре нове ере, а Платон у „Држави“ 550. године пре нове ере говори о квадрату 27×27. У делу „Генерација душе у Тимеју“ 100. године пре нове ере Плутарх пише о броју 729 као броју сунца, а 130. године магични квадрат описује грчки филозоф Теон из Смирне.

Између 500. и 1300. на простору Византије изграђено је више цркава на основу пројекта заснованог на магичном квадрату. У свету источног хришћанства први новији примери јављају се 1300. године у књизи византијског учењака Манојла Мосхопула (око 1265-1315). Радивши на делу арапског научника Ал-Бунија, грчки учењак квадрате није тумачио само путем магије, алхемије и астрологије, него им је одређивао и математичке карактеристике.

Први пример магичног квадрата у западном свету је квадрат трећег реда нађен у једном рунском рукопису из периода између 200. и 300. године, којега су келтски свештеници користили приликом извођења паганских ритуала.

У раној хришћанској уметности између 550. и 650. г. јављају се ликовни модели засновани на кинеској симболици, међу којима се налази и неколико примера изведених из Ло Шу квадрата, а на корицама неколико рукописа насталих између 600. и 1100. г. такође се појављују елементи различитих магичних квадрата.

Леонардо да Винчи је у својим сликама и цртежима често користио крст уписан у квадрате,  концепт квадратуре круга и квадрате трећег и деветог реда, а италијански математичар Лука Паћјоли је између 1470. и 1490. године објавио велики број примера магичних квадрата. Донато Браманте је 1506. године направио нацрт базилике Светог Петра заснован на принципу Ло Шу квадрата, а италијански архитекта Андреа Палађо пројектовао је 1556. „Вилу Ротонду“ на темељу магичног квадрата 3×3.

Агрипа, Дирер и Кирчер

Немачки физичар, теолог, и астролог Хејнрих Корнелије Агрипа је у делу „Окултна филозофија“ (1533.) дао приказ седам магичних квадрата различитог реда. Квадрат 1×1 односи се на Бога, квадрата 2×2 нема, а сваки наредни повезан је са једном од седам тада познатих астролошких планета, укључујући сунце и месец (Сатурн 3×3, Јупитер 4×4, Марс 5×5, Сунце 6×6, Венера 7×7, Меркур 8×8, Месец 9×9). Ова књига је вековима имала велики утицај на магију, астрологију, мистицизам, окултизам и алхемију у Европи.

Један од познатијих примера магичног квадрата бројева налази се у десном горњем углу бакарне гравуре „Меланхолија“ коју је 1514. г. урадио немачки уметник Албрехт Дирер (1471–1528). Идеје о магичним квадратима Дирер је највероватније упознао од Паћиолија, и Агрипе, а сам квадрат сличан је остварењу које је 250 година раније начинио Кинез Јанг Хуј.

Низови бројева укомпоновани су тако да се у четвртом реду налази година његовог настанка – 1514. што је уједно и година смрти Дирерове мајке. Збир низова бројева у редовима, колонама и дијагоналама износи 34. Такав је и збир четири крајња угаона броја (16+13+4+1), бројева 3 и 2 у првом реду и 15 и 14 у задњем реду, као и збир бројева 5 и 9 у првој колони и бројева 8 и 12 у задњој колони. Збир сваког од четири мања угаона квадрата, као и збир средишњег износи 34 што говори да се ради о гномону.

Дирер је сматрао да се помоћу нумеролошких техника могу изазивати промене расположења, уклањање депресија, психолошких конфузија, меланхолија итд. Овај квадрат, као и цео бакрорез, играју велику улогу у роману „Изгубљени симбол Дена Брауна из 2009. године.

Први магични квадрат 9×9 публикован је у делу „Аритмологија“ језуите Атанасија Кирчера изашлом у Риму 1655. године. Приказујући симболизам и везу између математичких закона, Кирчер придаје већи значај Ло Шу квадрату него Питагориној теореми, представљајући га у рукама анђела у рају, што је у складу са кинеским веровањем по којем је он људима дошао из раја. Са друге стране, модел Питагорине теореме постављен је на земљину површину.

Током 17. века многи научници, попут Антона де ла Лубериа, Адаме Кочанског и Ф. Бернара де Бесија посвећују велику пажњу магичним квадратима. Они су били опсесиван хоби Бенџамина Френклина, који је између 1736. и 1737. пронашао два веома комликована квадрата осмог реда.

Пример квадрата 4×4 на „Фасади Страдања“ катедрале Саграда Фамилија у Барселони рад је скулптора Џозефа Марије Субирача. У питању је субверзија квадрата из Дирерове меланхолије са два поновљена броја: 10 и 14. Збир сваког реда, колоне и дијагонале је 33, што су године Исуса Христа у време распећа. На једној половини врата главног улаза катедрале исписане су речи „Хлеб наш насушни, дај нам, Боже!“ из молитве „Оче наш“ на педесет језика, међу којима је и српски. Између цитата такође се налази квадрат, идентичан ономе на фасади.

Још од студије о тродимензионалним магичним квадратима А. Кочанског из 1686. овај се тип квадрата јавља у математичким књигама и у виду скулптура и грађевина. У врту уметничке галерије Итон Фајн у западном Палм Бичу (Флорида) налази се скулптура Петрика Ајрленда, у којој је магични квадрат формиран слагањем блокова у девет гомила.

Латински квадрат

Латински квадрат, који се помиње у 11. веку у арапској литератури, односи се на квадрат подељен на 16 поља испуњених бројевима од 1 до 4, словима А, Б, Ц, Д или симболима, тако да у сваком реду, колони и дијагонали буде четири различита слова, симбола или броја.

Велики швајцарски математичар Леонард Ојлер представио је 1783. овај квадрат као нову врсту магичног квадрата 4×4 и он се управо захваљујући Ојлеру данас назива латинским.

Пример таквог квадрата са уписаним бројевима 1, 2, 3 и 4 нађен је на висоравни Салватера на југу Француске. Његова симболика најчешће се тумачи као спој паганских и хришћанских утицаја, јер је висораван, на којој је некада негован култ Венере, данас посвећена Марији Магдалени. Кључ шифроване поруке квадрата највероватније је ознака написана изнад њега.

Латински квадрат је претеча судокуа, који се први пут јавља 1979. године у магазину „Дел“ под називом „Место броја“.

Далибор Дрекић

Сродни чланци:

Древни словенски квадрат – шест миленијума историје
Магични квадрат у српској књижевности од средњег века до данас – Крајегранесије
Нумерички код матрице свемира и ДНК спирале пре 6000 година исписан на корњачином оклопу
Улога магичних квадрата бројева у различитим цивилизацијама
Старогрчки магични квадрати
Стари санскртски еп Киратарјунија о борби човека и бога
Књига свете магије египатског мага Аврамелина
Арапски палиндроми и магични квадрати од средњег века до данас
Култ Црне Мадоне и витезови Темплари
Магични квадрат из 8. века као инспирација Салвадору Далију
Словни квадрати од древних Инка до Дена Брауна
Скривене поруке у романима Дена Брауна

 

Текстове са темом палиндрома, као и прозна и поетска остварења у овој форми можете читати и на нашој страници Краткословље.

Загонетна формула „абланатаналба“ на простору Србије, Босне и Далмације

Палиндроми имају велико значење у магијским формулама због устаљеног мишљења по коме реч губи своја магијска својства када се напише наопако – а палиндроми, како год били написани, задржавају то својство. Због тога су палиндроми веома често коришћени приликом састављања магијских порука различитих врста и намена.
абланатаналба

Абраксас гема са натписом Абланатаналба; фото: Википедија

Магична порука „ΛΒΛΑΝΑΘΑΝΑΛΒΑ“ (абланатаналба) јавља се на многим гемама, амулетима, талисманима, магијским папирусима, као и на „Tabellae defixionum“ („Магијски документ“), некад у изворној палиндромној форми, а некад нешто измењеном облику. Тако се нпр. на реверсу једне оловне плочице непознатог порекла јавља у склопу написа:

ABPACAC
ΑΒΛΑΝΑΘ
ΑΝΑΛΒΑ

На аверсу плочице стоји:

ΟΙΝΘΑΡΑΙΛ
ΘΑΜΘΥΑΥ
ΙΑΩ

На металној плочи у музеју Карлсрух налази се порука:

АВРАΣАΞ
||ВΛΑНАΘ
АНАΛЕΛ

у чијем склопу је нешто измењен облик израза: „ВΛΑНАΘАНАΛЕΛ“.

На једном приказу Хорус плови небесима на светом броду, са два јастреба, соларним симболима и сунцем и месецом изнад главе. Поред приказа исписане су две поруке „ΙΑΩ“ и „ΑΒΛΑΝΑΘΑΝΑΛΒΑ“. Појам „ΙΑΩ“ („Јао“) представља јадан од хебрејских назива за Бога, као што су то и појмови „Сабаот“ („ΣΑΒΑΩΘ“), „Елоај“, Адонај“ и др. И у многим другим налазима уз израз „абланатаналба“ јављају се имена богова и митолошких ликова из бројних средоземних религија и митологија. Такав је случај нпр. са грчким текстом из 5. века нађеним и Египту, који се чува у збирци Мичигенског универзитета (PMich 757, inv. 6925), париским папирусом објављеним 1929-1931. од стране Карла Прајзенданса и лондонским папирусом 112-м из 5-6. века.

У једном грчком магијском папирусу (PGM XXXIII.1-25) абланатаналба долази у саставу магичног заклињања против грознице. Сама форма заклетве дата је у облику троугла, у којем се често даје и магијска формула „абракадабра“:

ABLANATHANABLANAMACHARAMARACHARAMARACH
BLANATHANABLANAMACHARAMARACHARAMARA
LANATHANABLANAMACHARAMARACHARAMAR
ANATHANABLANAMACHARAMARACHARAMA
NATHANABLANAMACHARAMARACHARAM
ATHANABLANAMACHARAMARACHARA
THANABLANAMACHARAMARACHAR
ANABLANAMACHARAMARACHA
NABLANAMACHARAMARACH
ABLANAMACHARAMARA
BLANAMACHARAMAR
LANAMACHARAMA
ANAMACHARAM
NAMACHARA
AMACHAR
MACHA
ACH
A

Формула за магично заклињање против грознице, Грчки магијски папирус  (ПГМ XXXIII.1-25)
Порекло и значење речи

Многи научници, међу којима и К. У. Кинг (C. U. King), поруку „ΑΒΛΑΝΑΘΑΝΑΛΒΑ“ изводе из хебрејске (арамејске) речи „אב לז את“ („Ab-lanuatha“: „Ти си наш отац“), али има и мишљења који је доводе у везу са речју абракадабра (Е. П. Блаватској). Она често долази уз гностички појам мистичног значења „Abrasax“ (грч. ΑΒΡΑΣΑΞ), односно „Abraxas“ (грч. ΑΒΡΑΞΑΣ), који се везује уз симболику 365 сфера и 7 седам планета сунчевог система у гностичкој космологији. Формула абланатаналба се најчешће јавља у грчко-египатској магији гностика и у европском окултизму. Користи се као моћно средство за призивање духова и излечење од разних болести. Према Еузебијевом (Еузебије Памфил 3. век) опису египатског хијероглифа света, слово или фигура „Θ“ објашњено је као имитација круга небоплаве боје посутог пламеном, у чијем центру се налази змија.

сл. 1-7: геме нађене у Солину (људски труп, глава петла, змије уместо ногу), прва са изразом „ΑΒΛΑΝΑΘΑΝΑΛΒΑ“ на реверсу, а остале нез написа

Примери из Србије, Босне и Далмације

Посебно су интересантне палиндромне поруке исписане грчким писмом на гемама нађеним на простору Србије, Босне и Далмације. Основни карактер и смисао ових гема је магијско празноверје, иако оне поседују и одређене гностичке елементе и очигледан синкретизам утицаја из различитих религија (египатске, хебрејске, грчке, римске, хришћанске…). На магијску употребу указује, како материјал од којега су израђене (полудраго камење), тако и речи, имена, симболи и ликови који су у њима садржани.

Напис абланатаналба јавља се на четири нађене геме: у Солину (сл. 1), Костолцу (сл. 8-9), Кључу (сл. 4) и Нину (сл. 15). Прве две су на геми поред лика са људским трупом, петловом главом и змијама уместо ногу, трећа је крај лика голог мушкарца, а четврта је представљена без икаквог лика. у археолошком музеју у Загребу.

Лик са људским трупом, главом петла и змија уместо ногу у рукама готово увек држи штит и бич, односно копље. С обзиром на то да се симболика сва три елемента од којих је лик састављен јавља у готово свим митологијама Средоземља, нема сумње да он представља синтезу таквих веровања. Петао као птица светлости најчешће симболизује снагу у борби против демона. Његово гласање и поглед имају снажно дејство, а и сам његов лик штити од зла. Змија се као божански симбол јавља још у Мезопотамији у виду богиње-мајке или симбола хаоса, а епитет зла задржала је и у хришћанском веровању о протеривању првих људи из раја.

Гема од зеленог јасписа нађена у Солину (археолошки музеј у Сплиту, инв. бр. 593.) у облику је овалне плочице 25×19 mm, са обостраном гравуром (сл. 1-2). Лик на аверсу геме у уздигнутој десној руци држи бич, а у левој овални штит у којем је вертикални напис „IAW“ На реверсу је напис ΑΒΛΑ ΝΑӨΑΝ ΑΛΒΑ изложен у три реда. Преосталих пет гема нађених у Солину (сл. 3-7), које садрже исти лик, такође су од зеленог јасписа, али су гравиране једнострано и немају никакав напис. Прве четири налазе се у археолошком музеју у Сплиту, а пета у археолошком музеју у Загребу.

У Костоцу су нађене две геме са истим овим ликом, али са различитим написима и начињене од јасписа различитих боја. Први (сл. 8-9), од зеленог јасписа (археолошки музеј у Загребу, инв. бр. 460), у облику овалне плочице 16.5×12.3 mm, гравиран је обострано. На аверсу изнад штита налази се шестокрака звезда, испод десне руке уписана су слова IA, а испод ногу слово Ш. На реверсу се у два хоризонтална реда може прочитати палиндромни напис ΑΒΛΑΝΑ/ΘΑΝΑΛΒΑ. Други (сл. 10), од мрког јасписа (музеј Кнеза Павла у Београду, инв. бр. 58.), у облику округле плочице 17×14 mm, такође је обострано гравиран. На аверсу су две осмокраке звезде – једна изнад штита, а друга између ногу -, а на реверсу су вертикално написана слова IΛW. 

Прва од преостале три геме (сл. 11) са овим ликом начињена је у овалном облику од зеленог јасписа. Налазиште јој је непознато, а чува се у археолошком музеју у Сплиту. Друге две (сл. 12-13), такође овалног облика, израђене су од ахата. Она нађена у Српским Воларима код Приједора, чува се у земаљском музеју у Сарајеву, а она нађена у Логавини код Сарајева, похрањена је у ризници старе православне цркве у Сарајеву.

Гема с ликом голог мушкарца (сл. 14) израђена на кристалу кремену прозирцу нађена је у Кључу, а чува се у археолошком музеју у Загребу (инв. бр. 240 / 129). Има облик биконвексне леће 18×13.2 мм и гравирана је само са једне стране.

Кратки палиндроми, попут „ПХП“, често су кориштени због своје једноставности која омогућава да услед неприлике буду брзо изговорени или написани. Због тога што је гравирана само са једне стране, док јој је друга страна благо спљоштена, гема је извесно била начињена за ношење на прстену. Обостране гравуре, облик и величина осталих гема указују на то да им је намена највероватније била да се носе око врата.

Једина од изложених гема која не поседује никакав лик, него само напис (сл. 15) је она нађена у Нину (Археолошки музеј у Сплиту, инв. бр. 2070). Израђена је од зеленог јасписа у овалном облику15×10 mm и обострано је гравирана. У средишту аверса су у три реда урезане речи:

Употреба гема

Иако су највероватније ношене у облику амајлија, талисмана или прстења, оне нису служиле као украс, што показује и материјал који није скупоцен и начин израде који нема претензију достизања уметничке лепоте. Њихова је намена била да сачувају онога ко их носи од болести, урока и другога зла, односно да му подаре какве натприродне моћи, због чега је у првом плану магијски карактер материјала, лика, симбола и написа, а у другом плану су естетски квалитети. Такође, оне нису имале сврху печаћења, јер ни једна порука у њима није написана с десна на лево.

Најчешћи полудраги камен на којем се представљене геме јављају је јаспис (десет их је израђено од јасписа) којем се приписује велика магијска моћ још од античких времена (Плиније) до данас. Две геме нађене код Приједора и Сарајева израђене су од ахата, у магији веома цењеног камена, док је лик голог мушкарца, нађен у Кључу, израђен је кремена прозирца, не тако честог материјала када су у питању геме.

Време њиховог настанка оквирно се може утврдити од почетка 2. века пре н. е. до друге половине 5. века н. е. (период процвата магијске симболике), како на основу епиграфије, тако и на основу аналогије са сличним датираним гемама. Простор на којем је пронађена већина гема је Медитеран, док је један део пронађен на подручју јужне Русије. На Балкану постоји неколико већих налазишта: у Србији (Костолац, Карановац), Босни (Логавина код Сарајева, Српски Волари код Приједора, Кључ) и Хрватској (Солин и Нин). Могуће да је део гема овде и произведен, али је много вероватније да су оне донете из Египта, Грчке и Мале Азије, где је њихово ношење било уобичајенија појава.

Загонетни симболи

Магијски ликови разних животиња, митолошких бића, демона и људи углавном су изгубили сваку везу са религијом из које се преузети и имају искључиво магијску функцију, без обзира на њихово порекло и стварно значење. На ширење таквих приказа међу хришћанским светом свакако је много утицала и Апокалипса Светога Јована која је препуна визија разних бића, животиња и апокалиптичних призора.

Многе речи, изрази и симболи који су некада изражавали одређене молитве или клетве временом су, мање или више, изгубили не само првобитно значење, него често и форму, и наставили да постоје само у виду магијске формуле. Ти написи, чији је корен у грчком, египатском, коптском, сиријском или хебрејском језику, постајали су неразумљиви и тајанствени, што је само подгревало веровања у њихову магијску моћ. И поред присуства хебрејских речи и имена, ове геме не могу бити јеврејског порекла, због тога што је та религија строго забрањивала стварање ликова богова или светаца на предметима. 

Приредио: Далибор Дрекић

Литература и фото:

Мирко Шепер – Антикне геме – амулети назване по гностичким гемама, Вјесник Археолошког музеја у Загребу, Вол. 22-23 Но. 1, 1942.
Charles William King, The Gnostics and Their Remains,1887.
F. Ll. Griffith and Herbert Thompson, The Demotic Magical Papyrus of London and Leiden (The Leyden Papyrus), 1904.
Edwin M. Yamauchi – Mandaic incantation texts
Википедија – Abraxas, Abraxas stones

Текстове са темом палиндрома, као и прозна и поетска остварења у овој форми можете читати и на нашој страници Краткословље.